多元统计分析之主成分分析及R实现-数据人网

原创多元统计分析之主成分分析及R实现

薛丽丹 2016-04-26 58551 0 0

#### 一、	什么是主成分分析
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 是将多指标化成少数几个综合指标的一种综合统计方法。主成分分析方法通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分的方法，并且这些主成分保留原始变量的绝大部分信息，通常表现为原始变量的线性组合。通过主成分分析我们能够有效利用大量数据进行定量分析，并揭示变量之间的内在关系。

#### 二、	如何解释主成分分析
（1）	我们知道主成分分析是将原来的变量指标进行重新组合的新的综合指标，我们的目的就是要来选择尽可能少的主成分。我们以第一主成分Y1为例，如果在所有的线性组合中Y1的方差最大，，那么它所包含的信息最多。如果第一主成分不足以代表所有的信息，我们再考虑第二主成分，并要求第一主成分Y1已有的信息不出现在第二主成分Y2 中，即两个主成分不相关。
（2）	我们的选择主成分的标准是找到关于x的线性函数，并使相应的方差达到最大，且这些主成分的综合解释能力要在80%以上。
注：关于主成分的推导过程较为晦涩，此文着重讲述R语言的实现过程，有兴趣推导的可以加私信回复。

#### 三、	主成分的分析过程
（1）	将原始数据标准化，以消除变量间在量纲上的不同。
（2）	求标准化数据的相关矩阵
（3）	求相关矩阵的特征值和特征向量
（4）	计算方差的贡献率与累计贡献率：每个主成分的贡献率代表了原数据总信息量的百分比
（5）	确定主成分：设C1、C2…..CP为P个主成分，其中前m个主成分包含的信息总量（即累积方差贡献率）不低于80%时，可取前m个主成分来反映原始对象。
（6）	用原指标的线性组合来计算各主成分得分：以各种成分对原指标的相关系数（即载荷）为权，将各主成分表示为原指标的线性组合，而主成分的经济意义则由各线性组合权数较大的指标的综合意义来确定
 ![](http://img.shujuren.org/pictures/LB/571f289e7d4c3.png)
（7）	综合得分：以各主成分的方差贡献为权，将其线性组合得到综合评价函数。
 ![](http://img.shujuren.org/pictures/M1/571f28abecd93.png)
（8）得分排名：利用总得分可以得到得分名次。

#### 四、	主成分分析的实现步骤
（以各省市的消费水平的八个指标为例）源数据及代码均可留言回复
###### （1）	计算相关矩阵
x=read.table("clipboard",header=T)  #将数据导入R
cov(x)                          #计算x的相关系数
###### （2）	求相关系数矩阵的特征值及主成分载荷
pca=princomp(x,cor=T)        #主成分分析
pca                        #特征值开根号
summary(pca)
![](http://img.shujuren.org/pictures/UR/571f28cbaf0db.png)

pca$loadings                  #主成分分析载荷
![](http://img.shujuren.org/pictures/74/571f28d902db0.png)

###### （3）	确定主成分
按照累计方差贡献率大于80%的原则，我们选择前两个主成分。从碎石图上也可以看出：
![](http://img.shujuren.org/pictures/QG/571f28ec57a3b.png)

结果分析1：由主成分载荷矩阵可以看出，主成分C1在X3、X5、X6、X7上的载荷值很大，可视为非必需消费品主成分；C2在X1、X2、X4上的载荷值很大，可视为日常必需消费品主成分。

###### （4）	主成分得分
pca$scores            #主成分得分
![](http://img.shujuren.org/pictures/O8/571f28fc8a30c.png)

结果分析2：由加权估计法估计综合得分，以各主成分的方差贡献率的比重作为权重综合加权汇总，得出各省市的综合得分，程序及结果如下：
princomp.rank(pca,m=2,plot=T)   #主成分综合得分及排名
![](http://img.shujuren.org/pictures/FT/571f2997a3c53.png)

就综合得分而言，上海、北京、广东、浙江、天津这5个城市的得分最高，说明经济发展水平较高，而西藏、云南、海南和贵州较为贫困得分较低。可见我国各地区的人均消费水平是由经济发展水平决定的。经济发展水平较高的地区其城镇消费水平较高，反之，则越低

>数据人网作者：薛丽丹
暨南大学统计学研究生，数据人网编辑，热爱数据分析和数据科学。
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